Il modello di Cournot

Concorrenza con la quantità come variabile strategica

Sintesi: Numero di imprese nel mercato = n (o 2 nel caso di un duopolio)
Tipo di bene prodotto= BENE OMOGENEO
VARIABILE STRATEGICA: QUANTITA’
Assunzione: FUNZIONI DI COSTO INDIPENDENTI
STRATEGIE NON-COOPERATIVE


Si tratta di uno dei fondamenti della microeconomia. E' un modello di duopolio (generalizzabile poi al caso dell’oligopolio): due sole imprese (1,2), in competizione, offrono un bene omogeneo e decidono di produrre contemporaneamente le quantità q1 e q2.
La decisione di ciascuna impresa è presa senza conoscere la scelta dell’altra, ma nella consapevolezza che avrà impatto sul profitto di entrambe. In una tale situazione, infatti, un cambiamento del prezzo e della produzione di un’impresa influenzerà il prezzo e la produzione dell’altra. Nessuna delle due imprese può ignorare le reazioni altrui.

Pertanto, o le due imprese raggiungono una tacita intesa nel controllare ciascuna una fetta del mercato, oppure decidono di farsi guerra con l’intento di eliminare il rivale per acquisire il controllo pieno del mercato e godere dei vantaggi del monopolio;

- entrambe le imprese, in relazione a ciascun livello di produzione offerto sul mercato, si attendono un’univoca decisione in termini di offerta da parte dell’impresa rivale. Le decisioni di ciascuna impresa possono riguardare il prezzo, la qualità e la quantità del prodotto, i livelli delle spese di pubblicità, la politica degli sconti ai dettaglianti e così via;

- l’obiettivo di entrambe le imprese è individuare la strategia, cioè, in tal caso, la quantità da produrre, che massimizza il profitto:
a) Maxp = Ricavi Totali (Rt) - Costi Totali (Ct);
lo spazio di strategie a disposizione di una generica impresa i si compone di tutti i livelli di roduzione qi teoricamente possibili.
La condizione di equilibrio per l’impresa che opera in un mercato di oligopolio è realizzata dall’uguaglianza tra costo e ricavo marginale e cioè:
b) MC = MR ne segue DCt/DQ = DRt/DQ;
ogni impresa, consapevole del fatto che la quantità che essa offre sul mercato ha un impatto rilevante sul prezzo di vendita, vende quanto prodotto al prezzo di equilibrio tra Domanda e Offerta aggregata.
In tal caso, appunto, assumiamo per semplicità che le imprese in questione producano un bene omogeneo e abbiano la stessa funzione inversa di
Domanda del mercato, che per semplicità espositiva consideriamo lineare:
p = a-bQ
dove:
- a e b sono due parametri positivi;
- Q (produzione totale delle 2 imprese) = q1+q2;
- q1, q2 indicano, rispettivamente, le quantità prodotte (e vendute) dalle imprese 1 e 2.

Avremo dunque:
c) p = a-b (q1+q2).

Ogni impresa, nel decidere la quantità da produrre procede in due passi.
1) Fa una congettura riguardo alla quantità prodotta dall’altra impresa.
In questo modo essa può farsi un’idea del prezzo che si formerà sul mercato: se pensa che l’altra impresa produrrà molto, il prezzo risulterà basso indipendentemente dalle sue decisioni di produzione.
2) Determina la quantità da produrre.

Nel decidere quanto produrre, l’impresa tiene conto dei benefici derivanti da un aumento della produzione (cioè vendere una maggiore quantità) e dei costi derivanti dal fare ciò (cioè vendere tutte le unità prodotte ad un prezzo minore data la forma decrescente della funzione di domanda di mercato).
Si noti che dalla congettura descritta nel punto 1, a differenza della concorrenza perfetta, dove ogni impresa ha un effetto trascurabile sul prezzo, e del monopolio, dove la singola impresa “fa” il prezzo, in un mercato oligopolistico esiste una interdipendenza delle decisioni prese dalle varie imprese che vi operano.

Osservando che il profitto delle imprese è:
pi (q1, q2) = pQ – C(qi) = [a-b (q1 + q2)] qi – cqi,
dove C(Q)=cqi, ovvero qi è l’output dell’impresa e Q=q1+q2, i=1,2;
e assumendo che le imprese conoscano la funzione inversa di domanda del mercato per il bene in questione, la precedente ipotesi c., unita alla a., implica che il problema dell’impresa 1 può scriversi come:
d) Max p1(q1,q2) = Max[a-b (q1 + q2)] q1 – cq1.
dove:
- cq1 indica il Costo per produrre la quantità q1;
- a-b(q1+q2)q1 è il Ricavo totale ottenuto dalla produzione (e vendita) della quantità q1. (Rt = P x q1).

Si noti che il profitto dell’impresa 1 dipende unicamente dalle quantità delle due imprese.
Il presupposto fondamentale del modello di Cournot è che ogni duopolista (o oligopolista) consideri costante la quantità prodotta dal concorrente, cioè la ritenga invariabile rispetto alle sue decisioni di produzione e la consideri come un dato.

Tale ipotesi del modello è nota come:
- congetture alla Cournot: ciascuna impresa formula una previsione circa la quantità prodotta dall’altra impresa e assume che tale quantità non dipenda da quanto essa decide di produrre.
Ciò implica, quindi, che:
e) Dq1/Dq2 = 0 Dq2/Dq1 = 0,
ovvero l’ipotesi di variazioni congetturali nulle significa che ciascuna impresa non reagisce alle variazioni di quantità dell’altra: tutte scelgono simultaneamente.
Partendo dalla (d.), la condizione del primo ordine per la massimizzazione di p1 rispetto a q1, Dp1/Dq1=0, è:
1) a – 2bq1 - bq2 – c = 0 per l’impresa 1,
mentre è:
2) a – bq1 - 2bq2 – c = 0 per l’impresa 2.
Allo stesso risultato saremmo potuti giungere considerando che per ogni impresa la quantità che massimizza il profitto richiede l’uguaglianza tra ricavo marginale e costo marginale:
a–2q1-q2=c e a-q1-2q2=c;
dove l’espressione a sinistra del segno è il ricavo marginale (MR), rispettivamente, dell’impresa 1 e 2 (la derivata di R come è stato definito sopra); l’espressione a destra è il costo marginale (MC), che abbiamo ipotizzato sia lo stesso per entrambe le imprese.
Finora abbiamo visto la derivazione algebrica. Si consideri, ora, il caso numerico di due imprese che producono un bene omogeneo a costi marginali costanti pari a 3 per entrambe.
Si assuma, inoltre, che le imprese conoscano la funzione di domanda del mercato, considerata di tipo lineare pari a
P = 21-Q
e che vendano quanto prodotto al prezzo che eguaglia Domanda e Offerta aggregata.
Ogni impresa sceglie quanto produrre avendo come obiettivo il massimo profitto.

Il problema delle due imprese è quindi:
f) Max p1 (q1,q2) = [21-(q1 + q2)] q1 – 3q1
per l’impresa 1

e

g) Max p2 (q1,q2) = [21-(q1 + q2)] q2 – 3q2
per l’impresa 2.

Si noti che al posto del prezzo ho sostituito l’espressione della funzione inversa di domanda, assumendo che la quantità domandata è uguale alla quantità totale offerta dalle due imprese.
Calcoliamo il livello di produzione che rende massimi i profitti attraverso la condizione di primo ordine Dp1/Dq1=0, che è (dalla f):
h) 21-2q1-q2-3=0, oppure 21-2q1-q2=3;
mentre la condizione di primo ordine per la massimizzazione di p2 rispetto a q2, Dp2/Dq2=0, è (dalla g.):
i) 21-q1-2q2-3=0, oppure 21-q1-2q2=3.
Chiaramente nel massimizzare la funzione di profitto abbiamo utilizzato l’ipotesi (e.), per cui abbiamo posto pari a 0 le derivate incrociate delle quantità.
L’equilibrio del modello di Cournot è dato da una coppia di quantità (q1c, q2c) tali che entrambe le condizioni di massimo profitto siano verificate, ossia tali che entrambe le imprese stiano massimizzando il proprio profitto.
Ciò implica che l’equilibrio consiste nella soluzione del sistema costituito dalle due condizioni del primo ordine:

21 – 2q1c – q2c = 3

21 – q1c – 2q2c = 3

Sviluppando il sistema si ottiene: (q1c=6; q2c=6) e sostituendo tali quantità nelle funzioni di profitto delle due imprese si ottiene che: p1=p2=36.
Il prezzo a cui le due imprese vendono il bene è pari a p = 9.
Il modello di Cournot prevede, quindi, che le due imprese, sebbene vendano un bene omogeneo, otterranno profitti positivi.
A questo punto verifichiamo che l’equilibrio del modello di Cournot è un equilibrio di Nash. Accertiamo cioè che, se le due imprese decidessero di produrre una quantità pari a 6, per entrambe la quantità scelta sarebbe la migliore risposta rispetto alla quantità dell’altra impresa.
Sottoponiamo a verifica, quindi, il profilo di strategie (q1=6; q2=6). A tale scopo, sostituiamo nella funzione di profitto dell’impresa 1 la quantità relativa all’impresa 2 e calcoliamo la miglior risposta per l’impresa 1 a tale quantità.
Ciò richiede la soluzione del seguente problema:
Max p1(q1) = [21-(q1 + 6)]q1 – 3q1

Si noti che, avendo sostituito al posto di q2 la quantità che è parte del profilo di strategie che sottoponiamo a verifica, la funzione di profitto dell’impresa 1 dipende unicamente da q1. E’ immediato vedere che la quantità che massimizza il profitto per l’impresa è q1=6, ossia quella che è parte del profilo di strategie sottoposto a verifica. Analogamente possiamo verificare che q2=6 è la quantità che massimizza il profitto dell’impresa 2, nel caso in cui assumessimo che q1=6.
Concludendo, poiché ciascuna delle due quantità di equilibrio del duopolio alla Cournot costituisce la miglior risposta all’altra quantità, ossia la risposta che massimizza il profitto, la coppia di strategie (q1=6; q2=6) è un equilibrio di Nash.

di Claudia Di Iorio [Visita la sua tesi »] [Leggi i suoi articoli »]

Approfondimenti

  • Il modello di Cournot

    Un modello fondamentale di mocroeconomia per lo studio della concorrenza dove le imprese decidono, in contemporanea e in modo indipendente, la quantità di output da produrre. La dinamica del prezzo, che decresce all'aumentare dell'output totale, è invece nota a tutte le imprese.»

Condividi questa pagina