Il modello di Black and Scholes

Calcolo del prezzo di un Opzione Call e Opzione Put

Il modello di Black & Scholes è uno dei modelli più conosciuti ed utilizzati in finanza. Permette di calcolare il prezzo in forma chiusa di un’opzione call europea standard e, con l’utilizzo della relazione di parità put-call, anche di un’opzione put.
Per ottenere questo eccezionale risultato Fisher Black e Myron Scholes con la collaborazione di R. C. Merton nel 1973, hanno utilizzato il calcolo stocastico, disciplina che consente di studiare le variabili nel tempo, anche in presenza d’incertezza.

Il loro modello si basa su tre concetti fondamentali:
1) andamento lognormale del prezzo del titolo sottostante,
2) delta hedging,
3) valutazione neutrale al rischio.

Con il primo concetto ci si riferisce al fatto che il titolo sottostante si suppone quotato in modo continuo, con prezzi che seguono un andamento casuale descritto dal moto geometrico Browniano. I rendimenti si suppongono distribuiti normalmente e l’andamento del prezzo quindi, si suppone distribuito lognormalmente.

Il secondo ed il terzo concetto sono sicuramente strettamente correlati. Per delta hedging infatti, s’intende la possibilità di creare un portafoglio, formato da una posizione su un titolo, ed una posizione contraria dello stesso titolo, che garantisce un rendimento costante se continuamente ribilanciato; in questo modo il portafoglio non è soggetto al rischio e può essere valutato attualizzandone i flussi attesi al tasso d’interesse delle attività prive di rischio.

Tale modello è basato su alcune assunzioni:
a. l’opzione esaminata è una call di tipo europeo;
b. il tasso d’interesse a breve termine è noto e costante durante la vita dell’opzione;
c. si opera in un mercato privo di attriti (costi di transazione o tasse);
d. la varianza del tasso di rendimento istantaneo del bene sottostante è costante nel tempo;
e. all’epoca di scadenza dell’opzione il prezzo del bene sottostante segue una distribuzione di probabilità di tipo lognormale;
f. durante la vita dell’opzione non vengono distribuiti dividendi;
g. vige il principio di non arbitraggio;
h. esiste la possibilità di poter scambiare titoli in ogni istante;
i. si suppone che la dinamica dell’indice azionario di riferimento, sia descritta dalla seguente equazione differenziale stocastica:
dS(t) = m × S(t)× d(t) + s × S(t)× dZ(t)
dove:
S(t) è un processo stocastico raffigurante il prezzo dell’indice azionario di riferimento;
m è il tasso istantaneo di rendimento atteso;
s è il coefficiente di volatilità o deriva (cioè, lo scarto quadratico medio del tasso di rendimento istantaneo dell’indice);
Z (t) è il processo di Wiener.

di Grazia Simonetti [Visita la sua tesi »] [Leggi i suoi articoli »]

Approfondimenti

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