La teoria della Media-Varianza

Pregi e difetti

Attualmente, trovare un livello ottimale di diversificazione del portafoglio rappresenta un problema.

Al giorno d’oggi un livello ottimale di diversificazione, misurato secondo la teoria della media-varianza del portafoglio (la quale sancisce che tra due strategie di investimento è da considerarsi preferibile quella che presenta un rendimento atteso maggiore e una deviazione standard minore), supera i 300 titoli, ma gli investitori hanno in media solo 3 o 4 titoli nel portafoglio.

I benefici della diversificazione, misurati secondo la teoria della media-varianza del portafoglio, sono aumentati negli anni recenti, però non è aumentato il livello di diversificazione del portafoglio degli investitori. Il livello ottimale, rimane molto sotto il livello dei 300 titoli.

Il criterio media-varianza rappresenta, secondo la teoria del portafoglio, il criterio di scelta che guida l’attività di selezione di portafoglio da parte del risparmiatore. Secondo l’approccio in parola, il rendimento di un qualsiasi valore mobiliare – azione, obbligazione, quota di un fondo comune o altro – può essere immaginato come una variabile casuale, ipotizzando che:

1) sia possibile individuare ogni percentuale di rendimento suscettibile di manifestarsi come esatta a posteriori, ossia ogni manifestazione della variabile casuale “rendimento”;

2) sia possibile stimare le probabilità da assegnare a ogni eventuale livello di remunerazione.

È lecito a questo punto chiedersi come utilizzare tale criterio di valutazione delle attività ai fini di scelta dell’investimento. Questa scelta comporterà molto probabilmente l’esclusione di alcuni titoli a favore di altri. È possibile definire un criterio “razionale” e ammissibilmente semplice per effettuare almeno una prima scrematura dei titoli più “interessanti”? il criterio “media-varianza” adottato da Markowitz risponde a questo interrogativo postulando:

- la preferenza individuale verso la massimizzazione del rendimento, combinata con
- l’avversione dell’investitore al rischio.

Poiché il rendimento futuro di un qualsiasi titolo è sconosciuto a priori, la preferenza per la massimizzazione del rendimento si esplica nella massimizzazione del valore atteso dello stesso. Il rischio viene poi definito come la propensione del rendimento ad allontanarsi dal livello medio probabile. Viene cioè identificato con la varianza.

In tal modo due attitudini psicologiche che molti di noi riterrebbero plausibili nella scelta di un investimento si traducono in un preciso criterio quantitativo, e come tale facilmente modellizzabile: a parità di varianza (o, indifferentemente, di deviazione standard) fra due titoli qualsiasi, l’investitore sceglierà quello con maggiore valore atteso; a parità di rendimento atteso, quello con minore varianza (o deviazione standard).
Siano quindi T1, T2 due titoli esistenti sul mercato e (m1, σ1) e (m2, σ2), il rispettivo rendimento e deviazione standard. Si scriverà:

T1 > T2 quando T1 è preferito a T2
ossia nel caso in cui:
m1 > m2 e σ1 ≤ σ2

oppure:

σ1 < σ2 e m1 ≥ m2

Si avrebbe inoltre:
T1 ≈ T2 ossia “T1 indifferente a T2”
solamente se fosse:
m1 = m2 e σ1 = σ2

Si vede subito come il criterio media-varianza non rappresenta un criterio completo di confronto, nel senso che non possiamo dire, comunque scelti i due titoli T1 e T2, che vale T1 > T2 oppure T1 < T2 oppure ancora T1 ≈ T2. Si pensi ad un azione (T1) con elevato rendimento atteso ma anche ampia rischiosità posta a confronto con l’investimento nella quota di un fondo comune obbligazionario (T2), meno rischioso ma presumibilmente anche meno redditizio. Si avrebbe in tal caso m1 > m2 e σ1 > σ2, il che rende i due investimenti, alla luce del solo criterio della media-varianza, non confrontabili.

Abbiano visto che i benefici della diversificazione secondo il criterio della media-varianza di portafoglio, consistono nella riduzione del rischio. Il rischio come abbiamo visto è misurato dalla deviazione standard di portafoglio.
Se la correlazione tra i titoli diminuisce, aumenta il beneficio marginale della diversificazione.
In uno studio del 1987, Meir Statman, calcolò il beneficio della crescente diversificazione da 30 a 500 titoli, comparando il rendimento atteso all’aumentare dei titoli in portafoglio.
All’aumentare del numero di titoli in portafoglio, diminuiva la deviazione standard, e quindi in modo crescente il portafoglio diventa sempre più diversificato.

di Cosimo Lacava [Visita la sua tesi »] [Leggi i suoi articoli »]

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