L'utilità degli investitori secondo la finanza comportamentale

La teoria della finanza comportamentale definisce la funzione di utilità dell’investitore in virtù del suo grado di avversione alle perdite.
Il modello è stato suggerito da Siegman e Lucas in uno studio del 2002 che, partendo dalla funzione di utilità di Kahneman e Tversky e semplificandone la forma la hanno adattata agli hedge funds.

La funzione di utilità così come semplificata da Siegman e Lucas è data dall’espressione seguente:

V(W0) = E(W1) – λE[(WB – W1)+]

Dove:
W0 rappresenta il valore della ricchezza al tempo 0 cioè la ricchezza iniziale;
W1 rappresenta il valore della ricchezza al tempo 1, cioè la ricchezza finale;
E[(WB – W1)+] rappresenta l’aspettativa di aumento di ricchezza;
λ è il parametro di avversione al rischio.

Trovata la funzione di utilità da massimizzare gli autori vanno ad esaminare la composizione di un ipotetico portafoglio.
Essi ipotizzano che l’universo degli investimenti sia rappresentato da:
1. un titolo risk free con rendimento pari a Rf;
2. un titolo azionario (cioè un’attività rischiosa con rendimento lineare) con rendimento aleatorio pari a u ed un premio per il rischio pari a E(u – Rf);
3. un’opzione call europea (cioè una attività rischiosa a rendimento non lineare che serve per misurare la redditività degli hedge funds dato che essi presentano caratteristiche di non linearità). Tale opzione ha prezzo d’esercizio pari a x e premio pari a c.

Ipotizzando che il sottostante sia rappresentato dall’azione di cui al punto 2, il rendimento dell’opzione è dato da:

Rc = (u – x).

Essa presenta un premio per il rischio positivo e pari a E(Rc – Rf)
Cioè pari a E[(u – x) –Rf] >0.

Con queste premesse e definendo le quantità X0, X1 e (W0 – X0 –X1c) che rappresentano rispettivamente le quantità investite nel titolo azionario, nell’opzione e nel titolo risk free l’equazione del vincolo è rappresentata dalla seguente:

W1 = W0Rf + X0(u – Rf) + X1(Rc – cRf)

La selezione delle quantità ottime da destinare ai diversi investimenti viene ottenuta massimizzando la funzione di utilità sotto il vincolo rappresentato dall’equazione sopra.

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